Conjuntos de números reales y operación entre conjuntos

El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).

Los números reales se representa con la letra   

 

Existen tres maneras de expresar conjuntos mediante los números reales.


 1. Diagrama de venn 

2. recta numérica

3. compresión y extensión

Compresión: Los conjuntos expresados por compresión son aquellos que expresan una característica general del conjunto.

Ejemplos A= (x/x, son las vocales) B= (y/y, son los días de la semana)

Extensión: Los conjuntos expresados por extensión son aquellos que detallan todos y cada uno de los elementos del conjunto.

Ejemplos A= (a, e, i, o, u)

B= (lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo)

El conjunto de los números naturales N

Entendemos por número la expresión de un valor, la cuantificación de una magnitud.

Los números naturales expresan valores referentes a cosas enteras, no partidas, los números naturales van de uno en uno desde el 0, no admiten la partición de las unidades, y solamente expresan valores positivos. Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.

Ejemplo: N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ... ...}

El conjunto de los números enteros

Los números enteros están formados por los números positivos, los números negativos y el cero. Los números positivos son como los naturales, pero con un "más" delante:+1,+2,+3,+4,+5,+6,+7,+8,+9… No obstante, el "más" de los números positivos no es obligatorio, puede no escribirse. Por otro lado, los números negativos son como los naturales pero con un "menos" delante:-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9…  El número cero es especial, porque es el único que no tiene ni un menos ni un más delante, por esto no es ni positivo ni negativo.

Ζ = {…-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…}

Los números racionales Q

Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la eternidad.

Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales que se podrían obtener.

Q= {-3/4,5/8,31/7}

Los números irracionales  I

Números irracionales . Son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico.

I={ π,e, √2,√3}

Operación de conjuntos 

En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D:

 P=\{2,4,6,8,10}

C=\{1,4,9,16,25}

D=\{4,16,36,64}

En otras palabras: Así, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e, f} y B = { a, e, i, o, u}, entonces la intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén a la vez en los dos conjuntos, esto es: A∩B = { a, e}

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.

Ejemplo:

En el diagrama de venn, los elementos de intersección de escriben en el medio de los dos diagramas. y solo se escriben una vez.

Un ejemplo más.

B = { Luis, Inés, Ana, Beto}     y  N = { Ana, Perdo, Beto}

 

Unión: 

En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los mismos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos P y el conjunto de los números impares positivos I:

 P= {2, 4,6}

I= {1, 3,5}

N = {1, 2,3,4} La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I

Características de operacion entre conjuntos intersecion y union  :

Disjuntos:

Iguales: 

Unión: 

Ejemplo UNION:

Símbolos utilizados en solución de conjuntos: